Anton Suhadolc: NEKOREKTNI PROBLEMI


DMFA–založništvo | Podiplomski seminar iz matematike | Cenik | Več o knjigi

Nekorektni problemi
Zbirka: Podiplomski seminar iz matematike (številka 15)
Leto izida:  1984
Obseg: 148 strani
Izvedba: 16 × 23 cm, mehka vezava
Cena: 4,50 EUR

Kazalo



O knjigi

V knjigi avtor obravnava najpomembnejše nekorektne probleme in postopke njihovega reševanja.

Mnogo problemov – posebno v uporabni matematiki – prevedemo na iskanje rešitve enačbe Ax = f, kjer je A preslikava med topološkima prostorama X in Y. Taka naloga se imenuje korektna (po Hadamardu), če a) je enačba rešljiva za vsak fY, b) ima največ eno rešitev in c) je rešitev zvezno odvisna od desne strani f glede na toplogiji obeh prostorov. Če vsaj eden od naštetih pogojev ni izpolnjen, imenujemo nalogo nekorektno. Pri takih nalogah običajno majhna sprememba v podatkih povzroči veliko spremembo v rešitvi ali pa rešitev celo ne obstaja več. Primeri nekorektnih nalog so številni, npr.: sistem linearnih enačb s kvadratno matriko, ki ima ničelno determinanto, linearna integralska enačba 1. vrste v prostoru zveznih funkcij, računanje vsote Fourierove vrste, Dirichletova naloga za hiperbolično parcialno diferencialno enačbo itd.

Pogosto imamo o rešitvi še kakšne dodatne informacije (npr. vemo, da je rešitev v nekem smislu gladka, omejena, pripada kaki podmnožici prostora). Na podlagi teh dodatnih informacij je bila izdelana vrsta metod, ki prevedejo nekorektni problem na korektnega (npr. spremenimo prostor X ali Y in topologijo v njem, posplošimo pojem rešitve, spremenimo osnovni pojem korektnosti itd.).

Eden takih prijemov je, da namesto rešitve enačbe Ax = f v Banachovem prostoru iščemo tako imenovano psevdorešitev, to je tisti vektor x0, pri katerem ima kvadratični funkcional F(x) = ||Axf|| minimum. Običajno med tako dobljenimi vektorji izberemo tistega, za katerega je vrednost ||x0|| minimalna. Problem iskanja take rešitve je korektna naloga. Pogosto spremenimo kriterij korektnosti, npr. nalogo Ax = f imenujemo korektno po Tihonovu, če obstaja podmnožica M v X z lastnostma: a) za vsak fA(M) je naloga v M enolično rešljiva in b) rešitev enačbe je na A(M) zvezno odvisna od desne strani. Primer naloge, ki je v neki množici korektna po Tihonovu, je inverzna naloga o prevajanju toplote.

Pri reševanju enačb Ax = f večkrat desna stran ni dana natančno, pač pa le njen približek fs, pa tudi operator A pogosto nadomestimo z njegovim približkom Ah. V knjigi so obsežno opisane metode regularizacije. Pri teh metodah poiščemo družino preslikav Rα, 0<=α<α0, ki vsakemu paru (fs, Ah) priredijo približke Rα(fs, Ah) k rešitvi x0, pri čemer je računanje tega približka korektna naloga. Primer take regularizacije je metoda Lavrentjeva, kjer je Rα(fs,Ah) = (Ah + αI)−1fs. To pomeni, da rešujemo namesto prvotne naslednjo enačbo Ahx + αx = fs. Pri teh metodah je poseben problem pametna izbira parametra α. Pri α = 0 bi reševali prvotni nekorektni problem, pri prevelikem α pa bi se rešitev znatno razlikovala od prvotne.

V knjigi so obdelane tudi nekatere iteracijske in projekcijske metode. V zadnjem poglavju pa najdemo nekaj konkretnih zgledov reševanja nekorektnih problemov pri integralskih enačbah in nekaterih drugih.

Nekaj težjih rezultatov iz funkcionalne analize je zbranih v dodatku. Za vse, ki jih bo zgornja problematika bolj zanimala, bo odličen kažipot obsežna literatura, ki je navedena ob koncu knjige.

[Iz predstavitve knjige v reviji Obzornik za matematiko in fiziko 31]

DMFA–založništvo | Podatki | Internet | Prodajalna | Povezave | Naša ponudba in CENIKI | Iskanje | Hitri skok: 
HTML 4.01 CSS © DMFA–založništvo 2005. Zadnji popravek strani dne 18. marca 2008.