Anton Suhadolc: NEKOREKTNI PROBLEMI

Zbirka:	Podiplomski seminar iz matematike (številka 15)
Leto izida:	1984
Obseg:	148 strani
Izvedba:	16 × 23 cm, mehka vezava
Cena:	4,50 EUR

Kazalo

• Predgovor
• Korektne in nekorektne naloge
• Posplošitve pojma rešitve in korektnosti
• Korektnost po Tihonovu. Kvazirešitev
• Regularizacija nekorektnih problemov
• Iteracija, projekcija in kvazireverzibilnost
• Integralske enačbe. Pregled drugih nekorektnih problemov
• Dodatek
• Literatura
• Stvarno kazalo

O knjigi

Mnogo problemov – posebno v uporabni matematiki – prevedemo na iskanje rešitve enačbe Ax = f, kjer je A preslikava med topološkima prostorama X in Y. Taka naloga se imenuje korektna (po Hadamardu), če a) je enačba rešljiva za vsak f ∈ Y, b) ima največ eno rešitev in c) je rešitev zvezno odvisna od desne strani f glede na toplogiji obeh prostorov. Če vsaj eden od naštetih pogojev ni izpolnjen, imenujemo nalogo nekorektno. Pri takih nalogah običajno majhna sprememba v podatkih povzroči veliko spremembo v rešitvi ali pa rešitev celo ne obstaja več. Primeri nekorektnih nalog so številni, npr.: sistem linearnih enačb s kvadratno matriko, ki ima ničelno determinanto, linearna integralska enačba 1. vrste v prostoru zveznih funkcij, računanje vsote Fourierove vrste, Dirichletova naloga za hiperbolično parcialno diferencialno enačbo itd.

Pogosto imamo o rešitvi še kakšne dodatne informacije (npr. vemo, da je rešitev v nekem smislu gladka, omejena, pripada kaki podmnožici prostora). Na podlagi teh dodatnih informacij je bila izdelana vrsta metod, ki prevedejo nekorektni problem na korektnega (npr. spremenimo prostor X ali Y in topologijo v njem, posplošimo pojem rešitve, spremenimo osnovni pojem korektnosti itd.).

Eden takih prijemov je, da namesto rešitve enačbe Ax = f v Banachovem prostoru iščemo tako imenovano psevdorešitev, to je tisti vektor x₀, pri katerem ima kvadratični funkcional F(x) = ||Ax − f|| minimum. Običajno med tako dobljenimi vektorji izberemo tistega, za katerega je vrednost ||x₀|| minimalna. Problem iskanja take rešitve je korektna naloga. Pogosto spremenimo kriterij korektnosti, npr. nalogo Ax = f imenujemo korektno po Tihonovu, če obstaja podmnožica M v X z lastnostma: a) za vsak f ∈ A(M) je naloga v M enolično rešljiva in b) rešitev enačbe je na A(M) zvezno odvisna od desne strani. Primer naloge, ki je v neki množici korektna po Tihonovu, je inverzna naloga o prevajanju toplote.

Pri reševanju enačb Ax = f večkrat desna stran ni dana natančno, pač pa le njen približek f_s, pa tudi operator A pogosto nadomestimo z njegovim približkom A_h. V knjigi so obsežno opisane metode regularizacije. Pri teh metodah poiščemo družino preslikav R_α, 0<=α<α₀, ki vsakemu paru (f_s, A_h) priredijo približke R_α(f_s, A_h) k rešitvi x₀, pri čemer je računanje tega približka korektna naloga. Primer take regularizacije je metoda Lavrentjeva, kjer je R_α(f_s,A_h) = (A_h + αI)⁻¹f_s. To pomeni, da rešujemo namesto prvotne naslednjo enačbo A_hx + αx = f_s. Pri teh metodah je poseben problem pametna izbira parametra α. Pri α = 0 bi reševali prvotni nekorektni problem, pri prevelikem α pa bi se rešitev znatno razlikovala od prvotne.

V knjigi so obdelane tudi nekatere iteracijske in projekcijske metode. V zadnjem poglavju pa najdemo nekaj konkretnih zgledov reševanja nekorektnih problemov pri integralskih enačbah in nekaterih drugih.

Nekaj težjih rezultatov iz funkcionalne analize je zbranih v dodatku. Za vse, ki jih bo zgornja problematika bolj zanimala, bo odličen kažipot obsežna literatura, ki je navedena ob koncu knjige.