Jože Vrabec: BORDISM, HOMOLOGY, AND STIEFEL-WHITNEY NUMBERS


DMFA–založništvo | Podiplomski seminar iz matematike | Cenik | Več o knjigi

Bordism, homology, and Stiefel-Whitney numbers
Zbirka: Podiplomski seminar iz matematike (številka 13)
Leto izida:  1982
Obseg: 84 strani
Izvedba: 16,5 × 23 cm, mehka vezava
Cena: 4,50 EUR

Kazalo



O knjigi

Knjižica vsebuje podrobna dokaza dveh klasičnih Thomovih izrekov iz diferencialne topologije. Natančneje, sestoji iz potrebne pripravljalne snovi in podrobno izdelanih dokazov teh izrekov, kot sta prikazana v članku: S. Buoncristiano, D. Hacon, An elementary geometric proof of two theorems of Thom, Topology 20 (1981) 97–99.

Da bi bila izreka vsaj do neke mere razumljiva, pojasnimo najprej nekaj pojmov. Dve gladki, sklenjeni (tj. kompaktni in brez roba) n-mnogoterosti M in N sta bordantni, če je njuna disjunktna unija rob kake gladke kompaktne (n+1)-mnogoterosti. Posebej, mnogoterost M je bordantna nič, če je rob kake gladke kompaktne (n+1)-mnogoterosti. Fundamentalni razred [M] povezane sklenjene n-mnogoterosti M nad Z2 je generator (tj. neničelni element) n-te homološke grupe Hn(M;Z2) ≈ Z2. Stiefel-Whitneyevi razredi mnogoterosti M so po definiciji Stiefel-Whitneyevi razredi tangencialnega svežnja mnogoterosti M; pri tem i-ti razred wi(M) leži v i-ti kohomološki grupi Hi(M;Z2), i = 0, 1, …, n. Če je n = i1 + … + ir razčlenitev števila n, je produkt („cup product“) wi1(M)wi2(M)…wir(M) v grupi Hn(M;Z2). Ker je Hn(M;Z2) dualni vektorski prostor (nad Z2) prostora Hn(M;Z2), lahko torej izračunamo Kroneckerjev produkt ⟨wi1(M)…wir(M), [M]⟩ iz Z2; rezultat imenujemo Stiefel-Whitneyevo število mnogoterosti M, pripadajoče razčlenitvi n = i1 + … + ir.

Omenjena Thomova izreka se glasita takole:

I. Stiefel-Whitneyeva števila sestavljajo popoln sistem invariant za klasifikacijo gladkih sklenjenih mnogoterosti glede na bordizem. Z drugimi besedami, mnogoterost je rob tedaj in le tedaj, ko so vsa njena Stiefel-Whitneyeva števila enaka 0.

II. Vsak singularni homološki razred nad Z2 poljubnega topološkega prostora X je mogoče predstaviti z gladko mnogoterostjo, tj. za vsak xHn(X;Z2) obstajata taka gladka sklenjena n-mnogoterost M in taka zvezna preslikava f: MX, da je f*([M]) = x.

Izvirna Thomova dokaza (iz leta 1954) uporabljata več netrivialnih dejstev iz algebraične topologije, recimo kohomološko strukturo Eilenberg-MacLaneovih kompleksov K(Z2,q), Serrovo C-teorijo itd., dokazi v tej knjižici pa so geometrijske narave in v dokazu izreka II se mnogoterost M konstruira eksplicitno.

Knjižica je nastala na osnovi niza predavanj, ki jih je imel avtor prof. Vrabec na topološkem seminarju Zagreb–Ljubljana v letu 1981. Sestoji iz 11 razdelkov in ima poleg teh še izvleček, predgovor, bibliografske podatke in indeks. Prvih 9 razdelkov obravnava vso potrebno snov o vektorskih svežnjih, njihovi klasifikaciji, o gladkih mnogoterostih, transverzalnosti, o Stiefel-Whitneyevih razredih in bordizmu, 10. in 11. razdelek pa sta posvečena dokazoma navedenih izrekov.

Osnovni tekst je napisan v zelo preciznem in jasnem slogu in spremlja ga mnogo hevrističnih in bibliografskih napotkov. Čeprav je knjižica napisana v angleščini, jo smemo upravičeno šteti za prispevek k naši matematični literaturi in jo toplo priporočiti podiplomskim študentom topologije in vsem, ki se zanimajo za algebraično in diferencialno topologijo.

[Iz predstavitve knjige v reviji Obzornik za matematiko in fiziko 29]

DMFA–založništvo | Podatki | Internet | Prodajalna | Povezave | Naša ponudba in CENIKI | Iskanje | Hitri skok: 
HTML 4.01 CSS © DMFA–založništvo 2004. Zadnji popravek strani dne 18. marca 2008.