| Zbirka: | Podiplomski seminar iz matematike (številka 13) |
|---|---|
| Leto izida: | 1982 |
| Obseg: | 84 strani |
| Izvedba: | 16,5 × 23 cm, mehka vezava |
| Cena: | 4,50 EUR |
Da bi bila izreka vsaj do neke mere razumljiva, pojasnimo najprej nekaj pojmov. Dve gladki, sklenjeni (tj. kompaktni in brez roba) n-mnogoterosti M in N sta bordantni, če je njuna disjunktna unija rob kake gladke kompaktne (n+1)-mnogoterosti. Posebej, mnogoterost M je bordantna nič, če je rob kake gladke kompaktne (n+1)-mnogoterosti. Fundamentalni razred [M] povezane sklenjene n-mnogoterosti M nad Z2 je generator (tj. neničelni element) n-te homološke grupe Hn(M;Z2) ≈ Z2. Stiefel-Whitneyevi razredi mnogoterosti M so po definiciji Stiefel-Whitneyevi razredi tangencialnega svežnja mnogoterosti M; pri tem i-ti razred wi(M) leži v i-ti kohomološki grupi Hi(M;Z2), i = 0, 1, …, n. Če je n = i1 + … + ir razčlenitev števila n, je produkt („cup product“) wi1(M)wi2(M)…wir(M) v grupi Hn(M;Z2). Ker je Hn(M;Z2) dualni vektorski prostor (nad Z2) prostora Hn(M;Z2), lahko torej izračunamo Kroneckerjev produkt ⟨wi1(M)…wir(M), [M]⟩ iz Z2; rezultat imenujemo Stiefel-Whitneyevo število mnogoterosti M, pripadajoče razčlenitvi n = i1 + … + ir.
Omenjena Thomova izreka se glasita takole:
I. Stiefel-Whitneyeva števila sestavljajo popoln sistem invariant za klasifikacijo gladkih sklenjenih mnogoterosti glede na bordizem. Z drugimi besedami, mnogoterost je rob tedaj in le tedaj, ko so vsa njena Stiefel-Whitneyeva števila enaka 0.
II. Vsak singularni homološki razred nad Z2 poljubnega topološkega prostora X je mogoče predstaviti z gladko mnogoterostjo, tj. za vsak x ∈ Hn(X;Z2) obstajata taka gladka sklenjena n-mnogoterost M in taka zvezna preslikava f: M→X, da je f*([M]) = x.
Izvirna Thomova dokaza (iz leta 1954) uporabljata več netrivialnih dejstev iz algebraične topologije, recimo kohomološko strukturo Eilenberg-MacLaneovih kompleksov K(Z2,q), Serrovo C-teorijo itd., dokazi v tej knjižici pa so geometrijske narave in v dokazu izreka II se mnogoterost M konstruira eksplicitno.
Knjižica je nastala na osnovi niza predavanj, ki jih je imel avtor prof. Vrabec na topološkem seminarju Zagreb–Ljubljana v letu 1981. Sestoji iz 11 razdelkov in ima poleg teh še izvleček, predgovor, bibliografske podatke in indeks. Prvih 9 razdelkov obravnava vso potrebno snov o vektorskih svežnjih, njihovi klasifikaciji, o gladkih mnogoterostih, transverzalnosti, o Stiefel-Whitneyevih razredih in bordizmu, 10. in 11. razdelek pa sta posvečena dokazoma navedenih izrekov.
Osnovni tekst je napisan v zelo preciznem in jasnem slogu in spremlja ga mnogo hevrističnih in bibliografskih napotkov. Čeprav je knjižica napisana v angleščini, jo smemo upravičeno šteti za prispevek k naši matematični literaturi in jo toplo priporočiti podiplomskim študentom topologije in vsem, ki se zanimajo za algebraično in diferencialno topologijo.
© DMFA–založništvo 2004.
Zadnji popravek strani dne 18. marca 2008.