Janko Bračič: UVOD V ANALITIČNO TEORIJO ŠTEVIL


DMFA–založništvo | Podiplomski seminar iz matematike | Cenik | Več o knjigi

Uvod v analitično teorijo števil
Zbirka: Podiplomski seminar iz matematike (številka 26)
Leto izida:  2003
Obseg: 212 strani
Izvedba: 16,5 × 23,5 cm, mehka vezava
ISBN: 961-212-138-9
Cena: 10,00 EUR

Kazalo



O knjigi

S 26. zvezkom podiplomskega seminarja iz matematike smo slovenski bralci po nekaj letih spet dobili v roke besedilo iz teorije števil. V ne preveč obsežni knjižici je avtor zbral in obdelal dostopnejša poglavja analitične teorije števil. Predstavil je zlasti tiste metode in postopke, ki vodijo do dokazov dveh dobro znanih klasičnih izrekov: praštevilskega (o tem, kako so praštevila asimptotično porazdeljena med vsemi naravnimi števili) in Dirichletovega (o praštevilih v aritmetičnih zaporedjih). Kljub svoji starosti, saj so oba izreka na tak način dokazali že v 19. stoletju, je obravnavana tematika še vedno eden najlepših primerov sodelovanja različnih matematičnih disciplin (teorije števil, algebre in analize) v odkrivanju matematične resnice.

Na kratko si oglejmo vsebino knjižice. Prvo poglavje je uvodnega značaja in vsebuje preproste primere uporabe analize pri raziskovanju števil. V drugem poglavju spoznamo, kaj so aritmetične funkcije in njihove vsote, za katere so izpeljane različne asimptotične ocene. Tretje poglavje nas nauči določati karakterje končne Abelove grupe, posebej Dirichletove karakterje, seznanimo se s periodičnimi aritmetičnimi funkcijami, njihovim Fourierovim razvojem in z Gaussovimi vsotami, prirejenimi Dricletovim karakterjem. V četrtem poglavju se spet pojavi analiza v podobi Dirichletovih vrst, njihove konvergence in analitičnih lastnosti njihovih vsot. Peto poglavje je posvečeno Riemannovi funkciji ζ in njenim sorodnikom, Hurwitzovi funkciji ζ in Dirichletovim L-funkcijam. Te funkcije s polravnine razširimo na celotno kompleksno ravnino (z izjemo točke 1) in pokažemo, da Riemannova funkcija ζ nima ničel na navpični premici skozi točko 1. (Kot je znano, je s točno lokacijo netrivialnih ničel te funkcije povezan eden od najbolj slavnih in še vedno nerešenih matematičnih problemov: Riemannova domneva.) V šestem poglavju nas avtor najprej seznani s funkcijami Čebiševa in z ekvivalentno formulacijo praštevilskega izreka, nato pa poveže vse niti dosedanje izpeljave v dokaz obeh glavnih izrekov, praštevilskega in Dirichletovega, ter tako zaokroži zgodbo.

Če je bil avtorjev namen prikazati, kako analitične metode pomagajo pri proučevanju diskretnega sveta naravnih števil, mu je to po mojem mnenju dobro uspelo, saj je ustvaril povezano celoto z eno centralno temo. Od prve strani dalje bralca motivira in usposablja za razumevanje kasnejših dokazov. Pripravlja si različna algebrska in analitična orodja ter postopoma stopnjuje zahtevnost, tako da bralcu kar se da olajša pot do cilja. V tem pogledu je delo lep pedagoški dosežek. Seveda pa se brez osnovnega poprejšnjega znanja o integralih, vrstah in holomorfnih funkcijah bralec ne bo mogel prebiti do konca. Kraljevskih poti v matematiko pač še vedno ni.

V načelu je knjižica dostopna vsem diplomiranim matematikom ozirorna vsem, ki dovolj dobro obvladajo osnove visokošolske matematike. Ker je pisana kot učbenik in opremljena s precejšnjim številom (skupaj 97) zanimivih in ne prav lahkih nalog na koncu vsakega poglavja, je gotovo najbolj primerna za študente višjih letnikov ali za podiplomske študente matematike, zlasti za tiste, ki se nameravajo ukvarjati s teorijo števil. Morda pa jo bo z zanimanjem vzel v roke še kdo od nespecialistov, ki bi želel spoznati osnove analitičnega pristopa k tej lepi in pomembni teoriji. Ne nazadnje je bila teorija števil od nekdaj ena glavnih povezovalnih in združevalnih tem celotne matematike in, kot kaže, bo tako ostalo tudi v 21. stoletju.

[Iz predstavitve knjige v reviji Obzornik za matematiko in fiziko 50]

DMFA–založništvo | Podatki | Internet | Prodajalna | Povezave | Naša ponudba in CENIKI | Iskanje | Hitri skok: 
HTML 4.01 CSS © DMFA–založništvo 2003. Zadnji popravek strani dne 18. marca 2008.