Borut Zalar: STRUKTURNA ALGEBRA ZA PODIPLOMCE IN NESPECIALISTE


DMFA–založništvo | Podiplomski seminar iz matematike | Cenik | Več o knjigi

Strukturna algebra za podiplomce in nespecialiste
Zbirka: Podiplomski seminar iz matematike (številka 25)
Leto izida:  2002
Obseg: 168 strani
Izvedba: 16,5 × 23,5 cm, mehka vezava
ISBN: 961-212-135-4
Cena: 7,00 EUR

Kazalo



O knjigi

Z izrazom strukturna algebra avtor označuje tisti del algebre, ki se ukvarja z množicami, v katerih so vpeljane določene algebrajske operacije in ki imajo tudi kakšne dodatne analitične lastnosti. Primeri takih razredov so na primer kompleksne Liejeve algebre, grupe s končno mnogo elementi, asociativne realne algebre s končno dimenzijo, C*-algebre in podobno.

V naslednjem odstavku povzemimo kar avtorja: „Eden od zgodovinskih virov strukturne algebre so poskusi posplošitve pojma števila. Običajno števila razumemo kot strukturo s seštevanjm, odštevanjem, množenjem in deljenjem. Direktna abstraktna posplošitev tega pojma je razred, ki mu danes rečemo algebre z deljenjem. Primeri takih algeber so kvaternioni in oktonioni. Raziskovanje tega razreda algeber v njegovi največji možni splošnosti je še danes aktivno.“ Knjiga je nastala na podlagi priprav za podiplomska predavanja pri predmetu Algebra na Pedagoški fakulteti v Mariboru. Veliko slušateljev podiplomskega študija izobraževalne smeri je srednješolskih profesorjev. Zanje je pomembno, da poznajo poleg izrekov in njihovih dokazov tudi njihovo motivacijo, umestitev v času in povezavo z drugimi vejami matematike. Zato knjiga v uvodnem delu obnovi zgodovino algebre. Zelo zanimivo napisano prvo poglavje ima naslednje razdelke: Razmišljanja o vlogi algebre v matematiki; Obdobje geometrijske algebre; Obdobje iskanja ničel polinomov; Evolucija grup; Evolucija algeber, kolobarjev in modulov.

V drugem poglavju avtor obravnava algebre z deljenjem in absolutno vrednostjo. Študij algeber z deljenjem se je začel leta 1843 s Hamiltonovim odkritjem kvaternionov. Kmalu po tem so skonstruirali algebro oktonionov. Teorija deljenja se je izkazala za zelo zahtevno in je prišla v stik z analizo, teorijo števil, algebraično geometrijo in celo algebraično topologijo. Ker oktonioni niso asociativni, je teorija algeber z deljenjem v bistvu del neasociativne algebre. V tem poglavju avtor dokaže Hurwitzev in Frobeniusov izrek. Prvi pravi, da je vsaka realna algebra z enoto in absolutno vrednostjo izomorfna realnim številom, kompleksnim številom, kvaternionom ali pa oktonionom. Frobeniusov izrek pa pove, da je vsaka končnodimenzionalna asociativna algebra z deljenjem izomorfna realnim številom, kompleksnim številom ali pa kvaternionom.

V tretjem poglavju avtor začne obravnavo jedra svojega dela. V njem je precej zgledov raznih algebraičnih struktur, ki jih avtor izbere iz algebraične geometrije, diferencialne geometrije, teorije distribucij, topologije in kompleksne analize. Doda tudi nekaj matričnih zgledov.

V četrtem poglavju avtor opravi pripravo za strukturno teorijo realnih asociativnih algeber končne dimenzije. Kot pravi avtor, je Wedderburnov izrek izbran kot model za ilustracijo strukturne algebre zato, ker je zgodovinsko pomemben, tehnično dovolj enostaven in hkrati bogat z idejami. V petem poglavju avtor dokaže Wedderburnov izrek z lokalnimi metodami, v šestem pa posplošitev tega izreka z globalnimi metodami. V modernih raziskavah se še vedno pojavljata oba načina. Namen sedmega poglavja je razložiti prehod iz končne dimenzije v neskončno.

V osmem in devetem poglavju avtor predstavi del modernejšega dela strukturne algebre, ki želi pri vsaki algebri poleg osnovne idealske strukture poznati tudi strukturo odlikovanih preslikav na tej algebri. Na primer multiplikatorji tvorijo algebro, avtomorfizmi grupo, odvajanja pa Liejevo algebro.

Podiplomski predmet in ta knjiga nista bila mišljena kot priprava na samostojno raziskovalno delo na področju algebre. Zato večina izrekov ni formuliranih v največji splošnosti. V dokazih je avtor želel predstaviti nove ideje in metode tako, da je uporabljal kar najmanj tehničnih zapletov in računanja.

Knjiga je primeren in ne pretežek uvod v zanimivo in uporabno področje matematike, zato jo lahko priporočimo vsem z osnovnim znanjem (dodiplomske) algebre: študentom višjih letnikov, diplomantom, podiplomskim študentom in tudi raziskovalcem na nealgebrajskih področjih, ki jih zanimna (mogoče drugačen) pogled na algebro, ki se pojavlja na njihovih področjih.

[Iz predstavitve knjige v reviji Obzornik za matematiko in fiziko 50]

DMFA–založništvo | Podatki | Internet | Prodajalna | Povezave | Naša ponudba in CENIKI | Iskanje | Hitri skok: 
HTML 4.01 CSS © DMFA–založništvo 2004. Zadnji popravek strani dne 18. marca 2008.