Petar Pavešić: THE HOPF INVARIANT ONE PROBLEM


DMFA–založništvo | Podiplomski seminar iz matematike | Cenik | Več o knjigi

The Hopf Invariant One Problem
Zbirka: Podiplomski seminar iz matematike (številka 23)
Leto izida:  1995
Obseg: 68 strani
Izvedba: 16,5 × 23,5 cm, mehka vezava
ISBN: 961-212-050-1
Cena: 4,50 EUR

Vsebina



O knjigi

V matematiki se večkrat primeri, da se za več na pogled zelo raznorodnih problemov izkaže, da imajo „isto korenino“, to je, da se dajo prevesti na skupen osnovni problem. Taka skupina problemov je posebno opazna takrat, ko tistega osnovnega problema daljši čas nihče ne zna rešiti. Pričujoča knjižica prikazuje enega takih primerov. Osnovni problem je topološki in je znan pod imenom, ki je naslov knjižice.

Povejmo na kratko, za kaj gre. Najbolje bo, če začnemo kar z istim problemom, kot pisec knjižice. Ta problem je postavil Hamilton v drugi polovici 19. stoletja. Na videz ni v nikakršni zvezi s topologijo: za katera naravna števila n je mogoče na evklidskem prostoru Rn definirati tako bilinearno (a ne nujno komutativno ali asociativno) množenje vektorjev, da dobimo realno algebro brez deliteljev niča? Iz prejšnjih stoletij so znane takšne algebre za n = 1 (realna števila), n = 2 (kompleksna števila), n = 4 (Hamiltonovi kvaternioni) in n = 8 (Cayleyjevi oktonioni), nikomur pa se ni posrečilo skonstruirati take algebre za kak drug n.

In zdaj k topologiji! Za vsako naravno število n naj Sn označuje n-razsežno enotsko sfero, to je množico točk v prostoru Rn+1, ki so za 1 oddaljene od izhodišča. Okoli leta 1935 ja švicarski matematik Heinz Hopf definiral pravilo, po katerem vsaki zvezni preslikavi f: S2n−1 → Sn (n > 1) pripada „karakteristično“ celo število, ki ga danes imenujemo Hopfova invarianta preslikave f in ga označujemo s H(f). Hopf je dokazal, da je H(f) = H(g), če sta preslikavi f, g: S2n−1 → Sn homotopni; da za vsak f: S2n−1 → Sn in za vsako celo število k obstaja tak g: S2n−1 → Sn, da je H(g) = kH(f) (v resnici je pokazal več: H določa homomorfizem homotopske grupe π2n−1(Sn) v aditivno grupo celih števil); da je H(f) = 0, če je število n liho; da za vsak sod n zavzame „funkcija“ H vrednost 2 (in zato vse sode vrednosti); in da H zavzame tudi vrednost 1 (in zato vse cele vrednosti), če na Rn obstaja struktura realne algebre brez deliteljev niča, torej vsaj za n = 2, 4, 8. Problem Hopfove invariante 1 je: dokazati, da samo za n ∈{2,4,8} obstaja taka zvezna preslikava f: S2n−1 → Sn, da je H(f) = 1, ali – ekvivalentno – da med evklidskimi prostori samo R, R2, R4 in R8 dopuščajo strukturo algebre brez deliteljev niča. Ta problem je rešil angleški topolog Frank Adams leta 1960. Njegov dozežek velja za enega velikih triumfov matematike v 20. stoletju.

V pričujoči knjižici je natančneje razloženo vse, kar smo površno povedali zgoraj, in prikazan je dokaz Adamsovega izreka; ne originalni dokaz, temveč kasnejša poenostavitev, ki jo je prispeval drug znamenit (libanonsko-)angleški toplog Michael Atiyah. Knjižica je napisana za bralca, ki je seznanjen z osnovami splošne, geometrične in algebraične topologije (npr. za diplomanta teoretske smeri študija matematike na ljubljanski univerzi); posebej pisec pričakuje, da bralec pozna pojme: mnogoterost, CW kompleks, homotopna grupa, (ko)homološka grupa. Drugi potrebni (še dokaj osnovni) pojmi algebraične topologije so v knjižici razloženi, seveda samo v obsegu, ki je potreben tu, in večinoma brez podrobnih dokazov: kohomološki produkt in kohomološki kolobar, kohomološke operacije in Steenrodovi kvadrati, vektorski svežnji in njihova homotopska klasifikacija, topološka K-teorija, Adamsove operacije, Puppejeva eksaktna zaporedja. Vse to sestavlja dokaz Adamsovega izreka v širšem pomenu besede; dokaza v ožjem pomenu je samo za dve strani.

Mislim, da je pisec dokaj posrečeno izbral, koliko povedati o vsaki stvari in kaj izpustiti. Izognil se je nevarnosti, da bi se delo izrodilo v naštevanje definicij in dejstev, in tudi nevarnosti, da bi s podrobnostmi preutrudil tudi najbolj motivirane bralce. Knjižico toplo priporočamo vsakomur, ki bi se želel posvetiti topologiji. Po bližnjici se bo seznanil s celo vrsto pojmov in resnic, ki jih bo prej ali slej potreboval; čisto brez truda pa seveda tu ne bo šlo in poleg tega bo marsikaj treba kasneje temeljiteje preštudirati v primernem učbeniku. Za povprečnega matematika, ki ne ve nič ali skoraj nič o algebraični topologiji, bo ta knjižica pretrd oreh. Toda tudi tak bo lahko z zanimanjem prebral prvo, uvodno poglavje, v katerem je zastavljen osnovni problem, in peto, zadnje poglavje, v katerem je prikazanih nekaj primerov uporabe Adamsovega izreka; gre za tele probleme, ki imajo „isto korenino“ kot problem Hopfove invariante 1:

  1. Katere sfere Sn je mogoče opremiti s strukturo zvezne grupe ali polgrupe z enoto, ali širše, na katerih Sn je mogoče definirati zvezno množenje tako, da bo obstajal nevtralni element?
  2. Katere sfere so paralelizabilne?
  3. Na katerih prostorih Rn (ali Cn) obstaja vektorski produkt, podoben običajnemu vektorskemu produktu na R3?
  4. Katere sfere dopuščajo skoraj kompleksno strukturo?
  5. Pri katerih naravnih številih r in n (r < n) ima splošni sistem r linearnih enačb z n neznankami (torej sistem, v katerem so koeficienti spremenljivke) kako rešitev, ki je zvezno odvisna od koeficientov?

[Iz predstavitve knjige v reviji Obzornik za matematiko in fiziko 42]

DMFA–založništvo | Podatki | Internet | Prodajalna | Povezave | Naša ponudba in CENIKI | Iskanje | Hitri skok: 
HTML 4.01 CSS © DMFA–založništvo 2005. Zadnji popravek strani dne 18. marca 2008.